Trigonometría

23 de Agosto de 2009

figura B.9

La parte de las matemáticas que tiene sus funcionamiento en las propiedades especiales del triángulo recto reciben el nombre de trigonometría. por definición, un triángulo recto es uno que incluye un ángulo de 90°. considérese el triángulo recto que se muestra en la figura B.9, donde el lado a es opuesto al ángulo θ, el lado b es adyasente al ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del triángulo. las tres funciones trigonométricas básicas definidas para dicho triángulo son las funciones seno (sen), coseno (cos) y tangente (tan).en términos del ángulo θ estas funciones se definen por medio de:

sen θ= lado opuesto θ/ hipotenusa = a/c (B-24)

cos θ= lado adyasente θ/ hipotenusa = b/c (B.25)

tan θ= lado opuesto θ/ lado adyasente a θ= a/b (B.26)

El teorema de pitagoras brinda la siguiente relación entre los lados de un triángulo recto:

c²= a²+b²

A partir de las definicoindes anteriores y el teorema de pitagoras sededuce que

sen² θ + cos² θ= 1

tan θ= sen θ/ cos θ

Las funciones cosecante, secante y cotangente están definidas por

csc θ = 1/sen θ

sec θ = 1/cos θ

cot θ = 1/tan θ

Las relaciones siguientes surgen directamente del triángulo rectángulo mostrado en la figura anterior

sen θ = cos (90° - θ)

cos θ = sen (90° - θ)

cot θ = tan (90° - θ)

Algunas propiedades de las funciones trigonometricas son

sen (-θ) = -sen θ

cos (-θ) = cos θ

sen (-θ) = -tan θ

Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triangulo

α + β + θ = 180°

Ley de los cosenos

a² = b² + c² - 2bc cos α

b² = a² + c² - 2ac cos β

c² = a² + b² - 2ab cos θ

Ley de los senos:

a/sen α = b/sen β = c/sen θ

Algunas identidades trigonométricas

sen² θ + cos² θ = 1

sec² θ = 1 + tan² θ

csc² θ = 1 + cot² θ

sen 2θ = 2 sen θ cos θ

cos 2θ = cos² θ - sen² θ

tan 2θ = 2tan θ/ 1-tan² θ

sen² (θ/2) = ½(1-cos θ)

cos² θ = ½(1+cos θ)

1 – cos θ = 2sen² (θ/2)

tan (θ/2) = √[(1-cos θ)/(1+cos θ)]

sen (A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B

cos (A ± B) = cos A cos B ± sen A sen B

sen A ± sen B = 2sen [½ (A ± B)] cos [½ (A ± B)]

cos A + sen B = 2cos [½ (A + B)] cos [½ (A – B)]

cos A – cos B = 2sen [½ (A + B)] sen [½ (B – A)]

Ejemplo 3>

Considérese el triángulo recto de la figura B.11 en el cual a= 2, b= 5 y c se desconoce. A partir del teorema de Pitágoras se tiene

c² = a² + b² = 2² + 5² = 29

c = √29 = 5.39

Para encontrar el ángulo θ, advierta que

tan θ = a/b = 2/5 = 0.400

figura B.11

De una tabla de funciones de una calculadora se tiene

θ = tan⁻¹ (0.400) = 21.8°

Ejercicios

1.- En el siguiente triángulo identifique, a) el lado opuesto a θ, y b) el lado adyacente a α, y c) encuentra cos θ, d) sen α, y e) tan α.

respuestas:

a) 3

b) 3

c) 4/5

d) 4/5

e) 4/3

2.- En cierto triángulo rectángulo los lados que son perpendiculares entre si miden 5 m y 7 m de largo. ¿cual es la longitud del tercer lado?

Usando pitagoras:

c² = a² + b² = 5² + 7² = 74
c = √73 = 8.602

3.- Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 3 m de longitud, y uno de sus ángulos es de 30°. ¿cual es la longitud de a) el lado opuesto al ángulo de 30° (X), y b) el lado adyacente al ángulo de 30° (X)?.

a)

sen 30° = lado opuesto al ángulo/3
(sen 30°) (3) = X
X = 1.5 m

b)

cos 30° = lado adyacente del ángulo/3
(cos 30°) (3) = X
X = 2.60 m