25 de agosto de 2009
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada
respectivamente.
La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).
Se denomina también abscisa al eje x, y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector
OA.
La posición del punto A será: 
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector
AB será la distancia
dAB entre los puntos A y B antes calculada.
Campos vectoriales
Un campo vectorial es una
construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o la
gravitatoria, pues cambian punto a punto.
En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades
diferenciables como secciones del
fibrado tangente de la variedad.
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.
Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:
- ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del
radiovector sobre el plano
XY- φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del
radiovector sobre el plano
XY.
- z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano
XY.
Los rangos de variación de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π
radianes.
Relación con las coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.
Líneas y superficies coordenadas
Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, estas son:
- Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje Z.
- Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
- Líneas coordenadas z: Rectas verticales
